5.2 双線形, 反双線形関数の座標行例
ここでは無視する
線型空間$ Vと基底$ {\sf B}=(e_1,e_2,\cdots,e_n)を用意する 線型写像$ f:\underline V\to\underline Kを用意する
$ Kは$ Vを構成する体
$ c_i:=f(e_i)とすると
$ f(x)=f(x^ie_i)
$ = x^if(e_i)
$ =x^ic_i
となる。
線型写像$ e^i: e_j\mapsto\llbracket i=j\rrbracketを導入する
$ e^i(x)=e^i(x^je_j)=x^je^i(e_j)=x^i
より、$ e^iは$ x\in Vの$ \sf Bにおける$ ^i成分を取り出す函数と見なせる
線型写像$ f:\underline V\to\underline Kに、自然に定義される函数の和・積を導入した線型空間を$ V^*とする $ f\in\underline V^*となる
また$ {\sf B}^*=(e^1,e^2,\cdots e^n)とする
定理2.1 $ {\sf B}^*は$ V^*の基底である 存在性の証明
$ \forall f\in V^*;
$ \top
$ \implies\forall x\in V;f(x)=f(x^ie_i)=x^if(e_i)=e^i(x)f(e_i)
$ \implies\forall x\in V\exist c_i\in\underline K.f(x)=c_ie^i(x)
$ \iff\exist c_i\in\underline K. f=c_ie^i
$ \therefore\forall f\in V^*\exist c_i\in\underline K;f=c_ie^i
一意性の証明
$ \forall c_i\in\underline K;
$ c_ie^i=0
$ \iff\forall x\in V;c_je^j(x)=0
$ \implies\forall k\le n;c_ke^j(e_k)=0
$ \iff\forall k\le n;c_k\llbracket j=k\rrbracket=0
$ \iff\forall k\le n;c_k=0
$ \iff c_i=0
$ \therefore\forall c_i\in\underline K. c_je^j=0\implies c_i=0
$ {\sf B}^*=([\bullet]^{\sf\bar B}_1,\cdots,[\bullet]^{\sf\bar B}_n)
$ x^i=e^i(x)が$ \bm x\cdot\bar\bm e_iに対応する
同一視できるが同一ではない
$ \bar{\sf\bar B}={\sf B}だが$ {{\sf B}^*}^*\neq{\sf B}
$ \underline{V^*}^*の元は$ f:(\underline V\to\underline K)\to\underline Kだから、明らかに$ \underline Vの元ではない
共変・反変の概念とうまいこと結びつけたいところだが…… 定義2.1
線型空間$ V上の双線型函数$ f:\underline V^2\to\underline Kを次の条件を満たすものと定義する $ \forall x,y_0,y_1\in\underline V\forall a,b\in\underline K. f(x,ay_0+by_1)=af(x,y_0)+bf(x.y_1)
$ \forall x_0,x_1,y\in\underline V\forall a,b\in\underline K. f(ax_0+bx_1,y)=af(x_0,y)+bf(x_1.y)
$ \forall x,y_0,y_1\in\underline V\forall a,b\in\Complex. f(x,ay_0+by_1)=a^*f(x,y_0)+b^*f(x.y_1)